Exercícios sobre soma e produto de raízes e coeficientes de uma equação do 2º grau para o 9º ano ( 8ª série ) resolvidos

01) A equação 6x² - 8x - 3 = 0 apresenta duas raízes diferentes. Sem resolver a equação, 
determine a soma e o produto dessas duas raízes.

Resolução:

S = -b/a                       P = c/a
S = 8/6                        P = -3/6
S = 4/3                        P = -1/2 

02) Dada a equação 3x² - 10x - 8 = 0, determine a soma dos inversos das raízes dessa 
equação, sem resolvê-la.

Resolução:
                    1/x' + 1/x" = (x' + x")/ x'.x" 
                                              S/P
                                             (10/3)/(-8/3)        = - 10/8 = - 5/4

03) Consideremos a equação 12x² - ( m + 2 )x - 1 = 0, em que a soma das raízes é igual 
a 5/6. Nessas condições, determine o valor de m.

Resolução:

S = -b/a
5/6 = m + 2
6m + 12 = 5
6m = 5 - 12
6m = - 7
   m = -7/6

04) Determine o valor de p na equação 10x² - 2x + 3p - 2 de modo que uma  raiz seja 
igual ao inverso da outra.

 Resolução:
               x' = 1/x"      1 = x'.x"
                                  1 = (3p - 2)/10
                                 10 = 3p - 2
                                10 + 2 = 3p
                                       3p = 12
                                         p = 12/3
                                         p = 4

05) Determine a soma dos quadrados das raízes da equação x² + 5x + 6 = 0, sem resolver 
a equação.

Resolução:
                            S = -b/a        S = - 5                      
                            P = c/a          P = 6

06) Calcule a soma e o produto das raízes reais de cada uma das seguintes equações, 
sem resolvê-las:

a) x² + 2x - 8 = 0                     S = -2              P = -8

b) 6x² - 4x - 9 = 0                    S = 4/6 = 2/3                  P = - 9/6  = -3/2

c) 12x² - 6x - 1 = 0                  S = 6/12 = 1/2              P = -1/12

d) 100x² - 20x + 1 = 0             S = 20/100 = 1/5         P = 1/100

07) A equação x² - 6x - 16 = 0 tem duas raízes reais diferentes. Nessas condições 
determine o valor de: 

a) x' + x"                        S = 6

b) x' . x"                         P = -16

c) 1/x' + 1/x"                  x" + x'/x'x"             S/P               -6/16 = -3/8

08) Os números reais x' e x são as raízes da equação 2x² - 7x + 6 = 0. Nessas condições, 
sem resolver a equação, determine o valor da expressão ( x' + x") + x' . x" ).

Resolução:
                             Soma + produto
                              S + P
                              7/2 + 6/2
                              3,5 + 3
                                   6,5 ou 65/10 = 13/2
09) dada a equação 4x² - 5x + c = 0, determine o valor do coeficiente c para para que o 
produto das raízes dessa equação seja igual a -3/2.

Resolução:
                                P = c/a
                                - 3/2 = c/4
                                   2c = - 12
                                     c = -12/2
                                     c = - 6

10) Dada a equação 2x² - 10x + 5 = 0, sendo o S o número que expressa a soma das 
raízes e o P o número que expressa o produto dessas raízes, determine o valor da razão S/P.

Resolução:S = 10/2                       P = 5/2
S = 5                            P = 2,5

                            S/P         5/2,5  = 2               

Exercícios sobre raízes de uma equação do 2º grau com uma incógnita para o 9º ano ( 8ª série ) resolvidos

01) Verificar se o número 1 é raiz da equação 7x² - 3x - 4 = 0

Resolução:
                       7.1² - 3.1 - 4 = 0
                        7 - 3 - 4 = 0
                          7 - 7 = 0 Verdade

02) Sabe-se que o número -4 é raiz da equação x² - 3x + c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c.

Resolução;
                        x² - 3x + c = 0
                       ( -4)² - 3 ( -4 ) + c = 0
                         16 + 12 + c = 0
                                28 + c = 0
                                        c = - 28

03) A equação 2x² - 5x + 3m = 0 tem duas raízes reais e diferente. Nessas condições, calcule o valor de m.

Resolução:
                            2x² - 5x + 3m = 0 
                             ∆ = b² - 4.a.c
                             ∆ = ( -5)² - 4.2.3m
                              ∆ = 25 - 24m
                               
                              ∆ = 0       temos: 
                                                 25 - 24m = 0
                                                       - 24m = - 25
                                                             m = 25/24

04) Determine o valor de p na equação x² - px + 9 = 0 para que essa equação tenha uma única raiz real.

Resolução:    ∆ = 0
                                                                       x² - px + 9 = 0
                                                                      ∆ = (-p)² - 4. 1. 9
                                                                      ∆ = p² - 36
                                                                      p² - 36 = 0
                                                                       p² = 36                                         
5) Dentre os números -2, 0, 1e 4, quais deles são raízes da equação x² - 2x - 8 = 0?

Resolução:
                      x² -2x - 8 = 0                     0² - 2.0 - 8 = 0           1² - 2.1 - 8 = 0        
                     ( -2)² - 2.( -2) - 8 = 0           0 - 0 - 8 = 0 F           1 - 2 - 8 = 0
                        4 + 4 - 8 = 0                                                        1 - 10 = 0 F
                             8 - 8 = 0 V 

4² - 2.4 - 8 = 0
16 - 8 - 8 = 0
 16 - 16 = 0 V                    ( -2 e 4 ) são raízes da equação
      
                    
06) Dada a equação kx² - 3x - 2 = 0 , calcule o valor de k para que uma das raízes da equação seja o número - 2 .

Resolução:
                      kx² - 3x - 2 = 0
                     k(-2)² - 3.(-2) -2 = 0
                      4k +6 - 2 =0
                       4k + 2 = 0
                        4k = - 2
                          k = -2/4
                          k = -1/2 

07) Sabe-se que o número 1 é raiz da equação ax² - 6x + 1 = 0. Nessa condições, determine o valor do coeficiente a.

Resolução:    
                               ax² -6x + 1 = 0
                               a.1² -6.1 + 1 = 0
                                 a - 6 + 1 = 0
                                  a - 5 = 0
                                    a = 5

08) Se 8 é uma das raízes da equação 2x² - 3px + 40 = 0, qual é o valor do número p?

Resolução:
                             2x² - 3px + 40 = 0
                             2.8² - 3 .8.p + 40 = 0
                             2. 64 - 24p + 40 = 0
                             128 - 24p + 40 = 0
                                     - 24p = - 168
                                           p = 168/24
                                           p =  7

09) Determine o valor do coeficiente b na equação 2x² - bx + 10 = 0 para que essa equação tenha uma única raiz real.

Resolução:   
                       Para que a equação tenha uma unica raiz o delta é igual a zero
                                                                   2x² -bx + 10 = 0
                                                                   ∆ = b² - 4.a.c
                                                                   ∆ = (-b)² - 4.2.10
                                                                   ∆ = b² - 80
                                                                   ∆ = 0
                                                                    b² - 80 = 0
                                                                     b² = 80                                                                               


10) Qual deve ser o valor de m para que a equação 9x² - 9x + m = 0 não tenha raízes reais?

Resolução:
                         Para que a equação não tenha raízes reais delta é menor que zero.
                                                                      9x² - 9x + m = 0
                                                                      ∆ = b² - 4.a.c
                                                                      ∆ = (-9)² - 4.9.m
                                                                     ∆ = 81 - 36m
                                                                   ∆ < 0
                                                                  -36 m + 81 < 0
                                                                    -36m < - 81 ( - 1 )
                                                                        36m > 81
                                                                            m > 81/36
  11) Dada a equação ( t +1 ) x² + tx + 1 = 0 com t diferente de zero , determine o valor de t para que a equação tenha uma única raiz real.

Resolução:
                            Para que a equação tenha uma única raiz o delta é igual a zero
                                                                 ( t + 1)x² + tx + 1 = 0
                                                                 ∆ = b² - 4.a.c
                                                                  ∆ = t² - 4.(t +1).1
                                                                  ∆ = t² - 4t + 4
                                                                    ∆ = 0 
                                                                  t² - 4t - 4 = 0
                                                                   ∆ = b² - 4.a.c
                                                                    = (-4)² - 4.1.(-4)
                                                                    = 16 -16
                                                                   ∆ = 0
                                                                  t = -b/2a
                                                                  t = 4/2
                                                                  t = 2

12) Determine o valor de p para que a equação 4x² - 4x + 2p - 1 = 0 tenha duas raízes reais e diferentes.

Resolução; 
                        Para que a equação tenha duas raízes reais distintas delta é maior que zero.
                                                4x² - 4x + 2p - 1 = 0
                                                  ∆ = b² - 4.a.c
                                                    ∆ = ( - 4)² - 4.4. ( 2p - 1 )
                                                    ∆ = 16 -32p + 16
                                                    ∆ = 32 - 32p
                                                    ∆ > 0
                                                    - 32p + 32 > 0
                                                     - 32p > - 32 ( -1)
                                                          p < 32/32
                                                          p < 1




Execícios com produtos notáveis ( quadrado da soma de dois termos e quadrado da diferença de dois termos ) para o 8º ano ( 7ª série ) com gabarito

1) Calcule os quadrados da soma de dois termos:     


a) (3 + x)² =                                                   9 + 6x + x²                                                                      
b) (x + 5)² =                                                   x² + 10x + 25
c) ( x + y)² =                                                  x² + 2xy + y²
d) (x + 2)² =                                                   x² + 4x + 4
e) ( 3x + 2)² =                                                9x² + 12x + 4
f) ( ab + c )² =                                                a²b² + 2abc + c²
g) (2x + 1)² =                                                4x² + 4x + 1
h) ( 5+ 3x)² =                                                25 + 30x + 9x²
i) (2x + y)² =                                                 4x² + 4xy + y²
j) (r + 4s)² =                                                   r² + 8rs + 16s²
k) ( 10x + y)² =                                             100x² + 20xy + y²
l)  ( -3 b  + c)²=                                             9b² - 6bc + c²


2) Calcule os quadrados da diferença de dois termos:


a) ( 5 – x)² =                                                  25x² - 10x + x²
b) (y – 3)² =                                                  y² - 6xy + 9
c) (x – y)² =                                                  x² - 2xy + y²
d) ( x – 7)² =                                                 x² -14x + 49
e) (2x – 5)² =                                               4x² - 20x + 25
f) ( - 3 – 4y )² =                                           9 + 24y + 16y²
g) ( 6a – b )²=                                              36a² - 12ab + b²
h) (6y – 4)² =                                               36y² - 48y + 16
i (3x – 2y)² =                                               9x² - 12xy + 4y²
j) (2x – b)² =                                                4x² - 4xy + b²
k) (5x² - 1)² =                                              25x4 - 10x² + 1
l) (x² - 1)² =                                                 x4 -2x² + 1

3) Calcule  o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) =                              9x² - 4                                                                  
b) (5x + 4 ) . (5x – 4) =                               25x² - 16
c) (3x + y ) (3x – y) =                                 9x² - y²
d) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) =                               1 - 25x²
e) (2x + 3y) . (2x – 3y) =                            4x² - 9x²
f) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) =                               49 - 36x²
g) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) =                            1 - 49x4
h) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) =                              9x4 - 16
i) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) =                           9x4 - y4
j) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =                           x² - 1/4


4) Calcule o valor das seguintes expressões:
a) ( 3x – 4 )² + ( 2x – 5 )² =                        13x² - 34x + 41
b) g) (3x + y² )² - (3x – y)² =                      12xy
c) ( 2 – 5x) . (2 + 5x) =                               4 - 25x²
d) (2x + 3y) . (2x – 3y) =                            4x² - 9y²
e) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) – ( 2x² + 5 )² =         -4x4- 56y² + 74
f) ( a – b). ( a + b) + ( 2a – b )² =                a² + 4a² - 4ab





Execícios sobre intensidade da corrente elétrica para o 3º ano com gabarito


01) Uma corrente elétrica de intensidade igual a 15 A percorre um fio condutor. Determine o valor da carga que passa através de uma secção transversal em 1,5 minuto. 

(A) 1350 C.
(B) 1250 C.
(C) 1150 C.
(D) 1000 C.
(E) 1500 C.

Resposta: A

02) Por um fio condutor metálico passam 4,0.1020 elétrons durante 6s. Calcule a intensidade de corrente elétrica que atravessa esse condutor metálico. (Dada a carga elementar do elétron e = 1,6.10-19 C).

(A) 10,7 A.
(B) 10,6 A.
(C) 10,5 A.
(D) 10,4 A.
(E) 10,8 A.

Resposta: B

03) Pela secção reta de um condutor de eletricidade passam 18,0 C a cada 2 minutos. Calcule a intensidade da corrente elétrica nesse condutor condutor.

(A) 1,3 A.
(B) 1,4 A.
(C) 1,5 A.
(D) 1,6 A.
(E) 1,8 A.

Resposta: C

04) Uma corrente elétrica com intensidade de 16,0 A percorre um condutor metálico. A carga elementar é e = 1,6.10-19 C. Determine o tipo e o número de partículas carregadas que atravessam uma secção transversal desse condutor, por segundo, e marque a opção correta: 

(A) Elétrons;14.1019   partículas.
(B) Elétrons;10.1019   partículas.
(C) Prótons; 14.1019   partículas.
(D) Prótons; 10.1019   partículas.
(E) Prótons num sentido e elétrons no outro; 10.1019   partículas

Resposta: B

05) Um fio de cobre está sendo percorrido por uma corrente elétrica. Esta corrente elétrica é constituída pelo movimento ordenado de: a

(A) elétrons livres.
(B) prótons.
(C) nêutrons.
(D) elétrons livres num sentido e prótons em sentido oposto.
(E) elétrons livres e prótons no mesmo sentido..

Resposta: A

06) Uma lâmpada permanece acesa durante 2,5 minutos, por efeito de uma corrente de 2 A. Nesse intervalo de tempo, a carga total (em C) fornecida a essa lâmpada é:

(A) 40                   
(B) 25                 
(C) 100                   
(D) 150                  
(E) 300

Resposta: E

07) Marque a alternativa INCORRETA em relação aos efeitos da corrente elétrica.

(A) efeito joule: absorver calor.
(B) efeito magnético: gerar campo magnético.
(C) efeito fisiológico: choque.
(D) efeito químico: produzir reações químicas.
(E) efeito luminoso: gerar luz.

Resposta: A

08) Sejam as afirmações referentes a um condutor metálico com corrente elétrica de 1A:
I.   Os elétrons deslocam-se com velocidade próxima à da luz.
II.  Os elétrons deslocam-se em trajetórias irregulares, de forma que sua velocidade média é muito menor que a da luz.
III. Os prótons deslocam-se no sentido da corrente e os elétrons em sentido contrário.
É(são) correta(s): 

(A) I
(B) I e II
(C) II
(D) II e III
(E) I e III

Resposta: D