01) A equação 6x² - 8x - 3 = 0 apresenta duas raízes diferentes. Sem resolver a equação,
determine a soma e o produto dessas duas raízes.
Resolução:
S = -b/a P = c/a
S = 8/6 P = -3/6
S = 4/3 P = -1/2
02) Dada a equação 3x² - 10x - 8 = 0, determine a soma dos inversos das raízes dessa
equação, sem resolvê-la.
Resolução:
1/x' + 1/x" = (x' + x")/ x'.x"
S/P
(10/3)/(-8/3) = - 10/8 = - 5/4
03) Consideremos a equação 12x² - ( m + 2 )x - 1 = 0, em que a soma das raízes é igual
a 5/6. Nessas condições, determine o valor de m.
Resolução:
S = -b/a
5/6 = m + 2
6m + 12 = 5
6m = 5 - 12
6m = - 7
m = -7/6
04) Determine o valor de p na equação 10x² - 2x + 3p - 2 de modo que uma raiz seja
igual ao inverso da outra.
Resolução:
x' = 1/x" 1 = x'.x"
1 = (3p - 2)/10
10 = 3p - 2
10 + 2 = 3p
3p = 12
p = 12/3
p = 4
05) Determine a soma dos quadrados das raízes da equação x² + 5x + 6 = 0, sem resolver
a equação.
Resolução:
S = -b/a S = - 5
P = c/a P = 6
06) Calcule a soma e o produto das raízes reais de cada uma das seguintes equações,
sem resolvê-las:
a) x² + 2x - 8 = 0 S = -2 P = -8
b) 6x² - 4x - 9 = 0 S = 4/6 = 2/3 P = - 9/6 = -3/2
c) 12x² - 6x - 1 = 0 S = 6/12 = 1/2 P = -1/12
d) 100x² - 20x + 1 = 0 S = 20/100 = 1/5 P = 1/100
07) A equação x² - 6x - 16 = 0 tem duas raízes reais diferentes. Nessas condições
determine o valor de:
a) x' + x" S = 6
b) x' . x" P = -16
c) 1/x' + 1/x" x" + x'/x'x" S/P -6/16 = -3/8
08) Os números reais x' e x são as raízes da equação 2x² - 7x + 6 = 0. Nessas condições,
sem resolver a equação, determine o valor da expressão ( x' + x") + x' . x" ).
Resolução:
Soma + produto
S + P
7/2 + 6/2
3,5 + 3
6,5 ou 65/10 = 13/2
09) dada a equação 4x² - 5x + c = 0, determine o valor do coeficiente c para para que o
produto das raízes dessa equação seja igual a -3/2.
Resolução:
P = c/a
- 3/2 = c/4
2c = - 12
c = -12/2
c = - 6
10) Dada a equação 2x² - 10x + 5 = 0, sendo o S o número que expressa a soma das
raízes e o P o número que expressa o produto dessas raízes, determine o valor da razão S/P.
Resolução:S = 10/2 P = 5/2
S = 5 P = 2,5
S/P 5/2,5 = 2
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Exercícios sobre raízes de uma equação do 2º grau com uma incógnita para o 9º ano ( 8ª série ) resolvidos
01) Verificar se o número 1 é raiz da equação 7x² - 3x - 4 = 0
Resolução:
7.1² - 3.1 - 4 = 0
7 - 3 - 4 = 0
7 - 7 = 0 Verdade
02) Sabe-se que o número -4 é raiz da equação x² - 3x + c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c.
Resolução;
x² - 3x + c = 0
( -4)² - 3 ( -4 ) + c = 0
16 + 12 + c = 0
28 + c = 0
c = - 28
03) A equação 2x² - 5x + 3m = 0 tem duas raízes reais e diferente. Nessas condições, calcule o valor de m.
Resolução:
2x² - 5x + 3m = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = ( -5)² - 4.2.3m
∆ = 25 - 24m
∆ = 0 temos:
25 - 24m = 0
- 24m = - 25
m = 25/24
04) Determine o valor de p na equação x² - px + 9 = 0 para que essa equação tenha uma única raiz real.
Resolução: ∆ = 0
x² - px + 9 = 0
∆ = (-p)² - 4. 1. 9
∆ = p² - 36
p² - 36 = 0
p² = 36
5) Dentre os números -2, 0, 1e 4, quais deles são raízes da equação x² - 2x - 8 = 0?
Resolução:
x² -2x - 8 = 0 0² - 2.0 - 8 = 0 1² - 2.1 - 8 = 0
( -2)² - 2.( -2) - 8 = 0 0 - 0 - 8 = 0 F 1 - 2 - 8 = 0
4 + 4 - 8 = 0 1 - 10 = 0 F
8 - 8 = 0 V
4² - 2.4 - 8 = 0
16 - 8 - 8 = 0
16 - 16 = 0 V ( -2 e 4 ) são raízes da equação
06) Dada a equação kx² - 3x - 2 = 0 , calcule o valor de k para que uma das raízes da equação seja o número - 2 .
Resolução:
kx² - 3x - 2 = 0
k(-2)² - 3.(-2) -2 = 0
4k +6 - 2 =0
4k + 2 = 0
4k = - 2
k = -2/4
k = -1/2
07) Sabe-se que o número 1 é raiz da equação ax² - 6x + 1 = 0. Nessa condições, determine o valor do coeficiente a.
Resolução:
ax² -6x + 1 = 0
a.1² -6.1 + 1 = 0
a - 6 + 1 = 0
a - 5 = 0
a = 5
08) Se 8 é uma das raízes da equação 2x² - 3px + 40 = 0, qual é o valor do número p?
Resolução:
2x² - 3px + 40 = 0
2.8² - 3 .8.p + 40 = 0
2. 64 - 24p + 40 = 0
128 - 24p + 40 = 0
- 24p = - 168
p = 168/24
p = 7
09) Determine o valor do coeficiente b na equação 2x² - bx + 10 = 0 para que essa equação tenha uma única raiz real.
Resolução:
Para que a equação tenha uma unica raiz o delta é igual a zero
2x² -bx + 10 = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (-b)² - 4.2.10
∆ = b² - 80
∆ = 0
b² - 80 = 0
b² = 80
10) Qual deve ser o valor de m para que a equação 9x² - 9x + m = 0 não tenha raízes reais?
Resolução:
Para que a equação não tenha raízes reais delta é menor que zero.
9x² - 9x + m = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (-9)² - 4.9.m
∆ = 81 - 36m
∆ < 0
-36 m + 81 < 0
-36m < - 81 ( - 1 )
36m > 81
m > 81/36
11) Dada a equação ( t +1 ) x² + tx + 1 = 0 com t diferente de zero , determine o valor de t para que a equação tenha uma única raiz real.
Resolução:
Para que a equação tenha uma única raiz o delta é igual a zero
( t + 1)x² + tx + 1 = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = t² - 4.(t +1).1
∆ = t² - 4t + 4
∆ = 0
t² - 4t - 4 = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (-4)² - 4.1.(-4)
∆ = 16 -16
∆ = 0
t = -b/2a
t = 4/2
t = 2
12) Determine o valor de p para que a equação 4x² - 4x + 2p - 1 = 0 tenha duas raízes reais e diferentes.
Resolução;
Para que a equação tenha duas raízes reais distintas delta é maior que zero.
4x² - 4x + 2p - 1 = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = ( - 4)² - 4.4. ( 2p - 1 )
∆ = 16 -32p + 16
∆ = 32 - 32p
∆ > 0
- 32p + 32 > 0
- 32p > - 32 ( -1)
p < 32/32
p < 1
Resolução:
7.1² - 3.1 - 4 = 0
7 - 3 - 4 = 0
7 - 7 = 0 Verdade
02) Sabe-se que o número -4 é raiz da equação x² - 3x + c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c.
Resolução;
x² - 3x + c = 0
( -4)² - 3 ( -4 ) + c = 0
16 + 12 + c = 0
28 + c = 0
c = - 28
03) A equação 2x² - 5x + 3m = 0 tem duas raízes reais e diferente. Nessas condições, calcule o valor de m.
Resolução:
2x² - 5x + 3m = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = ( -5)² - 4.2.3m
∆ = 0 temos:
25 - 24m = 0
- 24m = - 25
m = 25/24
Resolução: ∆ = 0
x² - px + 9 = 0
∆ = (-p)² - 4. 1. 9
∆ = p² - 36
p² - 36 = 0
p² = 36
Resolução:
x² -2x - 8 = 0 0² - 2.0 - 8 = 0 1² - 2.1 - 8 = 0
( -2)² - 2.( -2) - 8 = 0 0 - 0 - 8 = 0 F 1 - 2 - 8 = 0
4 + 4 - 8 = 0 1 - 10 = 0 F
8 - 8 = 0 V
4² - 2.4 - 8 = 0
16 - 8 - 8 = 0
16 - 16 = 0 V ( -2 e 4 ) são raízes da equação
06) Dada a equação kx² - 3x - 2 = 0 , calcule o valor de k para que uma das raízes da equação seja o número - 2 .
Resolução:
kx² - 3x - 2 = 0
k(-2)² - 3.(-2) -2 = 0
4k +6 - 2 =0
4k + 2 = 0
4k = - 2
k = -2/4
k = -1/2
07) Sabe-se que o número 1 é raiz da equação ax² - 6x + 1 = 0. Nessa condições, determine o valor do coeficiente a.
Resolução:
ax² -6x + 1 = 0
a.1² -6.1 + 1 = 0
a - 6 + 1 = 0
a - 5 = 0
a = 5
08) Se 8 é uma das raízes da equação 2x² - 3px + 40 = 0, qual é o valor do número p?
Resolução:
2x² - 3px + 40 = 0
2.8² - 3 .8.p + 40 = 0
2. 64 - 24p + 40 = 0
128 - 24p + 40 = 0
- 24p = - 168
p = 168/24
p = 7
09) Determine o valor do coeficiente b na equação 2x² - bx + 10 = 0 para que essa equação tenha uma única raiz real.
Resolução:
Para que a equação tenha uma unica raiz o delta é igual a zero
2x² -bx + 10 = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (-b)² - 4.2.10
∆ = b² - 80
∆ = 0
b² - 80 = 0
b² = 80
10) Qual deve ser o valor de m para que a equação 9x² - 9x + m = 0 não tenha raízes reais?
Resolução:
Para que a equação não tenha raízes reais delta é menor que zero.
9x² - 9x + m = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (-9)² - 4.9.m
∆ = 81 - 36m
∆ < 0
-36 m + 81 < 0
-36m < - 81 ( - 1 )
36m > 81
m > 81/36
11) Dada a equação ( t +1 ) x² + tx + 1 = 0 com t diferente de zero , determine o valor de t para que a equação tenha uma única raiz real.
Resolução:
Para que a equação tenha uma única raiz o delta é igual a zero
( t + 1)x² + tx + 1 = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = t² - 4.(t +1).1
∆ = t² - 4t + 4
∆ = 0
t² - 4t - 4 = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = (-4)² - 4.1.(-4)
∆ = 16 -16
∆ = 0
t = -b/2a
t = 4/2
t = 2
12) Determine o valor de p para que a equação 4x² - 4x + 2p - 1 = 0 tenha duas raízes reais e diferentes.
Resolução;
Para que a equação tenha duas raízes reais distintas delta é maior que zero.
4x² - 4x + 2p - 1 = 0
∆ = b² - 4.a.c
∆ = ( - 4)² - 4.4. ( 2p - 1 )
∆ = 16 -32p + 16
∆ = 32 - 32p
∆ > 0
- 32p + 32 > 0
- 32p > - 32 ( -1)
p < 32/32
p < 1
Execícios com produtos notáveis ( quadrado da soma de dois termos e quadrado da diferença de dois termos ) para o 8º ano ( 7ª série ) com gabarito
1) Calcule os quadrados da soma de
dois termos:
a) (3 + x)² = 9 + 6x + x²
b) (x + 5)² = x² + 10x + 25
c) ( x + y)² = x² + 2xy + y²
d) (x + 2)² = x² + 4x + 4
e) ( 3x + 2)² = 9x² + 12x + 4
f) ( ab + c )² = a²b² + 2abc + c²
g) (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1
h) ( 5+ 3x)² = 25 + 30x + 9x²
i) (2x + y)² = 4x² + 4xy + y²
j) (r + 4s)² = r² + 8rs + 16s²
k) ( 10x + y)² = 100x² + 20xy + y²
l) ( -3 b
+ c)²= 9b² - 6bc + c²
2) Calcule os quadrados da diferença
de dois termos:
a) ( 5 – x)² = 25x² - 10x + x²
b) (y – 3)² = y² - 6xy + 9
c) (x – y)² = x² - 2xy + y²
d) ( x – 7)² = x² -14x + 49
e) (2x – 5)² = 4x² - 20x + 25
f) ( - 3 – 4y )² = 9 + 24y + 16y²
g) ( 6a – b )²= 36a² - 12ab + b²
h) (6y – 4)² = 36y² - 48y + 16
i (3x – 2y)² = 9x² - 12xy + 4y²
j) (2x – b)² = 4x² - 4xy + b²
k) (5x² - 1)² = 25x4 - 10x² + 1
l) (x² - 1)² = x4 -2x² + 1
3) Calcule o produto da soma pela diferença de dois
termos:
b) (5x + 4 ) . (5x –
4) = 25x² - 16
c) (3x + y ) (3x – y)
= 9x² - y²
d) ( 1 – 5x) . (1 +
5x) = 1 - 25x²
e) (2x + 3y) . (2x –
3y) = 4x² - 9x²
f) (7 – 6x) . ( 7 +
6x) = 49 - 36x²
g) (1 + 7x²) . ( 1 –
7x²) = 1 - 49x4
h) (3x² - 4 ) ( 3x² +
4) = 9x4 - 16
i) (3x² - y²) . ( 3x²
+ y²) = 9x4 - y4
j) (x + 1/2 ) . ( x –
1/2 ) = x² - 1/4
4) Calcule o valor
das seguintes expressões:
a) ( 3x – 4 )² + ( 2x
– 5 )² = 13x² - 34x + 41
b) g) (3x + y² )² -
(3x – y)² = 12xy
c) ( 2 – 5x) . (2 +
5x) = 4 - 25x²
d) (2x + 3y) . (2x – 3y) = 4x² - 9y²
e) (7 – 6x) . ( 7 +
6x) – ( 2x² + 5 )² = -4x4- 56y² + 74
f) ( a – b). ( a + b)
+ ( 2a – b )² = a² + 4a² - 4ab
Execícios sobre intensidade da corrente elétrica para o 3º ano com gabarito
01) Uma corrente elétrica de intensidade igual a 15 A
percorre um fio condutor. Determine o valor da carga que passa através de uma
secção transversal em 1,5 minuto.
(A) 1350 C.
(B) 1250 C.
(C) 1150 C.
(D) 1000 C.
(E) 1500 C.
Resposta: A
02) Por um fio condutor metálico passam 4,0.1020
elétrons durante 6s. Calcule a intensidade de corrente elétrica que atravessa
esse condutor metálico. (Dada a carga elementar do elétron e = 1,6.10-19 C).
(A) 10,7 A.
(B) 10,6 A.
(C) 10,5 A.
(D) 10,4 A.
(E) 10,8 A.
Resposta: B
03) Pela secção reta de um condutor de eletricidade
passam 18,0 C a cada 2 minutos. Calcule a intensidade da corrente elétrica
nesse condutor condutor.
(A) 1,3 A.
(B) 1,4 A.
(C) 1,5 A.
(D) 1,6 A.
(E) 1,8 A.
Resposta: C
04) Uma corrente elétrica com intensidade de 16,0 A
percorre um condutor metálico. A carga elementar é e = 1,6.10-19 C. Determine o
tipo e o número de partículas carregadas que atravessam uma secção transversal
desse condutor, por segundo, e marque a opção correta:
(A) Elétrons;14.1019
partículas.
(B) Elétrons;10.1019
partículas.
(C) Prótons; 14.1019
partículas.
(D) Prótons; 10.1019
partículas.
(E) Prótons num sentido e elétrons no outro;
10.1019 partículas
Resposta: B
05) Um fio de cobre está sendo percorrido por uma
corrente elétrica. Esta corrente elétrica é constituída pelo movimento ordenado
de: a
(A) elétrons livres.
(B) prótons.
(C) nêutrons.
(D) elétrons livres num sentido e prótons em sentido
oposto.
(E) elétrons livres e prótons no mesmo sentido..
Resposta: A
06) Uma lâmpada permanece acesa durante 2,5 minutos,
por efeito de uma corrente de 2 A. Nesse intervalo de tempo, a carga total (em
C) fornecida a essa lâmpada é:
(A) 40
(B) 25
(C) 100
(D) 150
(E) 300
Resposta: E
07) Marque a alternativa INCORRETA em relação aos
efeitos da corrente elétrica.
(A) efeito joule: absorver calor.
(B) efeito magnético: gerar campo magnético.
(C) efeito fisiológico: choque.
(D) efeito químico: produzir reações químicas.
(E) efeito luminoso: gerar luz.
Resposta: A
08) Sejam as afirmações referentes a um condutor
metálico com corrente elétrica de 1A:
I. Os elétrons
deslocam-se com velocidade próxima à da luz.
II. Os elétrons
deslocam-se em trajetórias irregulares, de forma que sua velocidade média é
muito menor que a da luz.
III. Os prótons deslocam-se no sentido da corrente e
os elétrons em sentido contrário.
É(são) correta(s):
(A) I
(B) I e II
(C) II
(D) II e III
(E) I e III
Resposta: D
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